Komische Kurve

Vor kurzem bin ich über eine Kurve “gestolpert” (in einem Buch über Chaos-Theorie), für die ich zwar keine Erklärung habe, die aber sagen wir: unterhaltend ist, auch für den Nicht-Mathematiker.

Eigentlich ist es eine Folge, sie hat die Formel

xi+1 = a xi(1-xi).

Sieht gefährlicher aus, als es ist, schauen wir es uns genauer an:

Die Folge unter der Lupe

a ist eine Konstante und denkt man sich erstmal die hintere Klammer weg, dann bleibt ja xi+1 = a xi. Jedes neue Element dieser Folge ist um das a-fache größer, als sein Vorgänger.

Wählt man nun zum Beispiel a = 2, dann ist jedes neue Element der Folge doppelt so groß wie sein Vorganger. Die Folge kann auf diese Weise Wachstum abbilden. Der Faktor a ist dabei der Wachstumsfaktor.

Der Klammerausdruck sorgt nun dafür, dass dieses Wachstum gedeckelt ist. Je größer die xi, also die Elemente der Folge werden, desto kleiner wird der Wert in der Klammer. Was hat das mit Wachstum zu tun? Damit kann man zum Beispiel äußere limitierende Gründe abbilden. Das Wachstum soll nicht durch die Decke gehen, etwa, weil es nur begrenzten Platz gibt.

Mit dieser automatischen Bremse ist für a = 2 und einen Startwert x0 = 0,1 unsere Folge darum auch schnell bei 0,5 und bleibt dann für immer auf diesem Wert stehen.

Die Folge liefert ein sehr einfaches Modell für Wachstum in begrenztem Umfeld.

Nun kommt das Komische an der Kurve

Lustig bis verblüffend ist nun zu sehen, was geschieht, wenn man an den beiden Startwerten, der Konstante a und dem Ausgangswert x0 “dreht”.

Offensichtlich ist, dass x0 unter 1 bleiben muss, dass ist sozusagen eine Modell-Annahme. Sonst funktioniert dieser Wachstumsdeckel mit der Klammer ja nicht. Aber etwa ab 0,6 ist schon recht interessant, was da “grafisch” geschieht.

Spannender ist allerdings a. Mit bloßem Aufge sieht man nämlich gar nicht, dass es auch für a Grenzen gibt – aber es gibt sie! Und zumindest mir sind sie völlig unerklärlich.

Kurz hinter 4, ungefähr so bei 4,00001 flippt nämlich unsere Kurve (die für a =2 noch so brav war) völlig aus, und auch schon auf dem Weg dahin kommt sie in einige Flegeljahre.

Hier sehen Sie einen Teil der Entwicklung.

Für a = 4,1 erfolgt hinter x20 der Sturz in einen tiefen Abgrund.

Für a = 4,2 kann Excel das gar nicht mehr darstellen, zu große negative Zahlen.

Eine komische Kurve eben.

Und vielleicht ja genau das Richtige zur semi-mathematischen Erbauung an einem verregneten Tag.

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